Calcolare la misura esatta dei pentagoni ed esagoni di un pallone da calcio in base alla dimensione della sfera non è semplicissimo, ma se siete curiosi in questo post vi mostreremo i calcoli matematici attraverso cui ci siamo arrivate.
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Prima di tutto occorre definire la superficie della sfera secondo la classica formula matematica:
Se non conosciamo la misura del diametro della sfera di polistirolo, il raggio ce lo ricaviamo misurando la circonferenza della sfera con un metro flessibile e applicando la formula:
Altrimenti basterà semplicemente dividere il diametro per 2.
A questo punto arriva la parte più complicata...
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Il pallone da calcio é un solido geometrico chiamato icosaedro troncato avente 32 facce divise in 20 esagoni e 12 pentagoni con i lati della stessa misura.
La sua superficie è quindi data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, perciò è dall'area degli esagoni e dei pentagoni che bisogna partire.
L'area dell'esagono regolare di lato l, apotema a e perimetro P è data da:
![{\displaystyle A={\frac {Pa}{2}}=6{\frac {al}{2}}=3al={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}l^{2}\simeq 2{,}59808\cdot l^{2}}]()
L'area del pentagonoè la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato s:
![A={\frac {5}{2}}s\cdot a={\frac {5}{2}}s\cdot s{\frac {a}{s}}={\frac {5}{2}}s^{2}\cdot nf\simeq 1{,}7204774s^{2}]()
Come detto sopra, la superficie del pallone da calcio è data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, ossia:
Conoscendo quindi il valore della superficie della sfera S, la formula per ottenere la misura del lato dei poligoni sarà:
Abbiamo bruciato un po' di neuroni, ma dovrebbe essere tutto corretto!![]()
Una volta calcolata la misura del lato non resta che armarsi di compasso e righello e designare pentagono ed esagono come segue:
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Adesso procediamo con l'esempio pratico.
Esempio:
Consideriamo una sfera avente diametro 10 cm, ciò significa che la misura del raggio è 5 cm.
Calcoliamo ora la Superficie della sfera, arrotondando per comodità tutti i valori alla seconda cifra decimale.
Ora costruiamo con del cartoncino le sagome di un pentagono ed un esagono aventi il lato di 2,08 cm che utilizzeremo per realizzare 12 esagoni bianchi e 20 pentagoni neri con i quali rivestiremo alla perfezione la sfera di polistirolo.
Ed ecco il risultato!!!![]()
Per vedere il tutorial completo di questo progetto cliccare qui.
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Prima di tutto occorre definire la superficie della sfera secondo la classica formula matematica:
S = 4πr2
Se non conosciamo la misura del diametro della sfera di polistirolo, il raggio ce lo ricaviamo misurando la circonferenza della sfera con un metro flessibile e applicando la formula:
| r = | C 2π |
A questo punto arriva la parte più complicata...
Il pallone da calcio é un solido geometrico chiamato icosaedro troncato avente 32 facce divise in 20 esagoni e 12 pentagoni con i lati della stessa misura.
La sua superficie è quindi data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, perciò è dall'area degli esagoni e dei pentagoni che bisogna partire.
L'area dell'esagono regolare di lato l, apotema a e perimetro P è data da:
L'area del pentagonoè la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato s:
Come detto sopra, la superficie del pallone da calcio è data dalla somma delle aree degli esagoni e pentagoni, ossia:
S= 20 × (2,5980762114 × l2) + 12 × (1,7204774006 × l2)=
= (51,961524228 × l2) + (20,6457288072 × l2) =
= l2× (51,961524228 + 20,6457288072) =
= l2 × 72,6072530352
= (51,961524228 × l2) + (20,6457288072 × l2) =
= l2× (51,961524228 + 20,6457288072) =
= l2 × 72,6072530352
Conoscendo quindi il valore della superficie della sfera S, la formula per ottenere la misura del lato dei poligoni sarà:
l = √(S : 72,6072530352)
Abbiamo bruciato un po' di neuroni, ma dovrebbe essere tutto corretto!
Una volta calcolata la misura del lato non resta che armarsi di compasso e righello e designare pentagono ed esagono come segue:
Adesso procediamo con l'esempio pratico.
Esempio:
Consideriamo una sfera avente diametro 10 cm, ciò significa che la misura del raggio è 5 cm.
Calcoliamo ora la Superficie della sfera, arrotondando per comodità tutti i valori alla seconda cifra decimale.
S = 4πr2 = 4 × 3,14 × 52 = 314
Infine calcoliamo il lato l di pentagoni ed esagoni secondo la formula che ci siamo ricavate.l = √(S : 72,61) = √(314 : 72,61) =2,08
Ora costruiamo con del cartoncino le sagome di un pentagono ed un esagono aventi il lato di 2,08 cm che utilizzeremo per realizzare 12 esagoni bianchi e 20 pentagoni neri con i quali rivestiremo alla perfezione la sfera di polistirolo.
Ed ecco il risultato!!!
Per vedere il tutorial completo di questo progetto cliccare qui.
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